Toán 12 Chương Trình Mới

I. Mục tiêu

• Ôn lại các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.
• Hiểu khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu).
• Nắm vững định lý về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.

II. Nội dung chi tiết

1. Ôn tập các quy tắc tính đạo hàm:

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
  • (u ± v)' = u' ± v'
  • (uv)' = u'v + uv'
  • (u/v)' = (u'v - uv') / v²
  • (ku)' = ku'
• Đạo hàm của các hàm số cơ bản:
  • (C)' = 0 (C là hằng số)
  • (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
  • (√x)' = 1 / (2√x)
  • (sin x)' = cos x
  • (cos x)' = -sin x
  • (tan x)' = 1 / cos²x
  • (cot x)' = -1 / sin²x
• Đạo hàm hàm hợp (f(u(x)))' = f'(u) * u'(x)

2. Tính đơn điệu của hàm số:

• Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K.
  • Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
  • Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

3. Mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu:

• Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

  • Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
  • Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
  • Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

• Mở rộng: Nếu f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: Xét hàm số y = x³ - 3x.

• Tập xác định: D = R.
• Đạo hàm: y' = 3x² - 3.
• y' = 0 ⇔ 3x² - 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.
• Dấu của y':
  • y' > 0 khi x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) ⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng này.
  • y' < 0 khi x ∈ (-1, 1) ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Kế hoạch học tập môn Toán lớp 12 theo chương trình mới dựa trên danh sách phát YouTube.