Toán 12 - Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm (Sách giáo khoa mới)

Giới thiệu

Chào mừng bạn đến với ngày học đầu tiên của chuyên đề Hàm số. Hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng: Tính đơn điệu của hàm số (hay còn gọi là tính đồng biến, nghịch biến).

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K (K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng).

• Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
• Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Nói một cách đơn giản, hàm đồng biến thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, hàm nghịch biến thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng K.

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu

Đây là công cụ mạnh nhất để xét tính đơn điệu của hàm số.

Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) là hàm hằng trên K.

Định lý mở rộng: Nếu f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0) với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tập xác định: D = ℝ.

• Bước 2: Tính đạo hàm. y' = 3x² - 6x

• Bước 3: Tìm nghiệm của y' = 0. 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

• Bước 4: Lập bảng xét dấu y' (hoặc bảng biến thiên).

• Bước 5: Kết luận. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
  • y' > 0 trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng này.
  • y' < 0 trên khoảng (0, 2). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

4. Bài tập thực hành

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) y = -x³ + 3x - 1 b) y = x⁴ - 2x² + 1

Nắm vững kiến thức về hàm số và các ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán lớp 12 theo sách giáo khoa mới.