Toán lớp 12 - Kết nối tri thức

Giới thiệu

Chào mừng bạn đến với tuần đầu tiên của khóa học Toán lớp 12! Hôm nay, chúng ta sẽ bắt đầu với một trong những khái niệm nền tảng của chương trình: Tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số.

1. Định nghĩa

• Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a, b) nếu ∀x₁, x₂ ∈ (a, b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
• Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a, b) nếu ∀x₁, x₂ ∈ (a, b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu

Đây là công cụ mạnh nhất để xét tính đơn điệu của hàm số. Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Lưu ý quan trọng: Nếu f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0) và dấu '=' chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

3. Các bước xét tính đơn điệu

1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.
2. Tính đạo hàm y = f'(x).
3. Tìm các điểm mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
4. Lập bảng biến thiên: Sắp xếp các điểm tìm được ở bước 3 trên bảng, xét dấu của f'(x) trên các khoảng.
5. Kết luận: Dựa vào dấu của f'(x) để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Xét tính đơn điệu của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

1. TXĐ: D = R.
2. Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x.
3. Giải y' = 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
4. Lập bảng biến thiên: | x | -∞ | | 0 | | 2 | | +∞ |

|-------|------|---|-----|---|-----|---|------| | y' | | + | 0 | - | 0 | + | | | y | -∞ | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | +∞ | 5. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Học chương trình Toán lớp 12 theo bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống qua các bài giảng của cô Trần Oanh.